どーも、大阪京橋数学塾A4Uの六人部です。
今回は高校生向けの計算のコツのお話！
ミスりそうなややこしい計算をゴリゴリやる場面にも出くわしたとき、ちょっと手を止めて考えてみるとラッキーな事が起こる場合もあるよという内容です。
扱うのは数列の和の計算！
シグマ計算と呼ばれている例のあいつです。
複雑なシグマ計算
※長い数式は全て横スクロールできます。
$$ \begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=1}^n (n-k)^3の計算 \end{eqnarray} $$
$$ 普通にやろうとするとまぁ\color{red}地獄\color{black}です。$$
地獄ルート
$$ \begin{eqnarray}\displaystyle&&\sum_{k=1}^n(n-k)^3=\sum_{k=1}^n(n^3-3n^2k+3nk^2-k^3)\\[5mm]&&=n^3\times n-3n^2 \times \frac{1}{2}n(n+1)+3n\times \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - \left\{\ \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\ \end{eqnarray}\ $$
ちょいちょい共通因数が見えるとはいえ・・・
こりゃ計算したくない！
$$ そこで\color{red}具体化\color{black}して考えてみます。$$
天国ルート
$$ \begin{eqnarray}\displaystyle&&\sum_{k=1}^n(n-k)^3\\[5mm]&&=(n-1)^3+(n-2)^3+(n-3)^3+\cdots+\left\{\ n-(n-1) \right\}^3+(n-n)^3\\[5mm]&&=(n-1)^3+(n-2)^3+(n-3)^3+\cdots+1^3+0^3(←逆から並べると)\\[5mm]&&=0^3+1^3+\cdots+(n-3)^3+(n-2)^3+(n-1)^3\\[5mm]&&=1^3+2^3+3^3+\dots+(n-3)^3+(n-2)^3+(n-1)^3(←これをシグマで書き直す)\\[5mm]&&=\sum_{k=1}^{n-1} k^3\\[5mm]&&=\left\{ \frac{1}{2}(n-1)\left\{(n-1)+1 \right\}\ \right\}^2 (←\sum_{k=1}^nk^3の公式が使える)\\[5mm]&&=\left\{\frac{1}{2}n(n-1)\right\}^2\end{eqnarray}\ $$
これで地獄の計算から解放です。
抽象化されているものを具体化する
こういった計算は式を見ているだけでは考えつきません。
つまり公式だけで処理することに慣れているとこうは行かないんですね。
今から計算するものって、ああなって・・・こうなって・・・・というように実際に頭の中でイメージしてから計算する人は思いつきやすいです。
複雑な計算をやり切る計算力はもちろん重要です。
しかし一方で、複雑な計算をシンプルにできないかを考える発想力も重要なのです。
公式があるからと言って単なる処理ゲーにしない。
計算を始める前にちょっと手を止めて想像力を働かせるのがポイントです。
とは言っても、何か計算を楽にする方法があるはずだ！と粘りすぎて時間を無駄にしないように！
いつでも計算を簡単に出来るわけではないのでその辺りの見極めも腕を磨きましょう！
